كيفية كسب مبلغ لا حصر له من المال (وأشياء أخرى يمكن أن تثبت الإحصاءات)

سلسلة القهوة + الرياضيات

هذا جاك

هذا هو الجزء الثاني من سلسلة Coffee + Math. الأمر بسيط - لدينا قهوة ونتحدث عن معادلات الرياضيات المفضلة لدينا ، وحقائق الرياضيات وحكايات الرياضيات. ماذا كان يمكنك ان تطلب اكثر؟

خلال هذا الأسبوع ، تناولنا (حليب اللوز) قهوة مع جاك فريستون ، عالم رياضيات مقيم في Mathspace وطالب وحيد (تخصص في الرياضيات المتقدمة).

قهوة الاختيار؟

حليب اللوز مزدوج النار.

هل حقا؟ حليب اللوز؟

أعطني إستراحة.

ما هي منطقتك المفضلة في الرياضيات؟

بالتأكيد الإحصاء ونظرية الاحتمالات.

هل يمكنك أن تعطينا مثالا؟

لدي بالفعل مثال جيد! يمكنني استخدام نظرية الاحتمالات لإظهار أنه من الممكن جني مبلغ غير محدود من المال في لعبة فرصة.

أم ، مرحبا! ماذا تنتظر؟

هناك مفهوم يعرف باسم مشكلة الخراب في المقامر والتي يمكن أن تظهره.

تخيل أن لديك $ n وتقرر أن تلعب لعبة يكون فيها لكل جولة فرصة أن تكسب $ 1 بالاحتمال (ع) أو أنك ستخسر $ 1 مع الاحتمال (q).

الآن بعد جولة أو جولتين ، يبدو أن الأرباح ضئيلة للغاية ، لكن الأمر اللطيف هو أنك قد تصبح غنيًا بلا حدود. إنه أمر ممكن ، طالما لعبت عددًا غير محدد من الجولات ، وكانت فرصك في الفوز في صالحك على الأقل.

هل يمكن أن تعطينا انهيار خطوة بخطوة؟

بالتأكيد. دعنا نقول أنه مع $ n الخاص بك ، يمكنك الاستمرار في اللعب حتى تصل إلى $ N أو ينتهي بك المطاف ب $ 0.

هل هذه لعبة أركيد على اليمين؟ لم أكن بحاجة إلى سبب لقضاء وقت غير محدود من الوقت على أحد هذه الأشياء ، لكن الآن لدي واحدة!

في هذه الحالة ، يمكن التعبير عن احتمال وصولك إلى $ N بدءًا من $ n على النحو التالي:

الجانب الأيسر هو احتمال الوصول إلى $ N بدءًا من $ n. يترجم الجانب الأيمن إلى "احتمال أنك ستربح الجولة الأولى ثم تصل إلى $ N الآن تبدأ بـ $ n + 1 أو أنك ستخسر الجولة الأولى وتصل إلى $ n الآن تبدأ بـ $ n - 1. "

تحذير: يجب أن نستخدم مساحة التسمية التوضيحية هذه لإعطاء معلومات فعلية ، بدلاً من السخرية من Jack! الرسم البياني (1): مجموع ثروتك بعد الفوز بالجولة الأولى ثم الوصول في النهاية إلى $ N على طول مسار معين. الرسم البياني (2): ثروتك الإجمالية بعد خسارتك الجولة الأولى ثم الوصول في النهاية إلى $ N على طول مسار معين آخر.

الآن ، بما أن p + q = 1 ، تصبح المعادلة أعلاه:

بعد بعض إعادة الترتيب:

ومع بعض الاستبدال العودية:

نظرًا لأن احتمالية الوصول إلى $ N بدءًا من $ 0 هي صفر:

سنطلق على هذه المعادلة (1).

جانبا ، يمكننا أن ندلي ببيانين حول احتمال الوصول إلى $ N ، نبدأ الآن من $ N:

نجاح باهر - العبارة (1) أبسط بكثير من العبارة (2)!

العبارة الأولى تقول أن احتمال الوصول إلى $ N يبدأ من $ N هو 1.

يستخدم البيان الثاني إلغاء الشروط المتتالية (باستثناء الأول والأخير) لإعادة كتابة احتمال الوصول إلى $ N بدءًا من $ N.

استبدال المعادلة (1) في العبارة الثانية نحصل عليها:

ومع بعض إعادة الترتيب:

سوف نسمي هذه المعادلة (2)

باستخدام نفس الإجراءات المذكورة أعلاه ، يمكننا الوصول إلى المعادلة التالية:

ومن خلال استبدال المعادلة (2) ، نحصل على:

الآن دعنا نفترض أن كل جولة في صالحك قليلاً ، أي p> q.

هذه الكثير من الجولات يا جاك!

العبارة الأولى في الرسم البياني أعلاه تستخدم حقيقة أن البسط والمقام هو مجرد مجموع هندسي.

العبارة الثانية تتيح لـ $ N الاقتراب من كمية لا حصر لها من الثروة ، وفي هذه الحالة ، يصبح المقام 1.

تظهر النتيجة النهائية احتمالًا إيجابيًا لاحتمال حصولك على ثروة لا نهائية على التوالي تبدأ من $ n.

لإلقاء الضوء على هذه النتيجة ، ضع في اعتبارك عدم التوازن في وزن العملة المعدنية. يُقترح أن تكون هناك فرصة بنسبة 51٪ للهبوط على الجانب الذي يواجه لأعلى قبل أن ينقلب. لنفترض أنك تدخل في لعبة تبدأ من 100 دولار حيث تكون كل جولة عبارة عن لعبة معدنية. كما كان من قبل ، إذا كنت تخمن أن نتيجة إرم بشكل صحيح ، فإنك تكسب 1 دولار ، وإذا لم يكن كذلك ، تخسر 1 دولار. إذا اخترت كل جولة الجانب المواجه للأمام قبل قذفه ، فإن فرصك في كسب مبلغ لا حصر له من المال (إذا كنت تستطيع العيش طويلاً) تزيد عن 98٪.

بشكل أساسي ، هذا ممكن ، لكن يجب أن تعيش إلى الأبد؟

علم!

لماذا أنت مهتم أيضًا بالإحصائيات والاحتمالات (بصرف النظر عن كيفية الحصول على مبالغ غير محدودة من المال)؟

بين العديد من النكات والظواهر الدراسية في المدرسة ، كان المعلمون هم من أثار حبي الأولي لكل من الرياضيات واللغة الإنجليزية. استمرت اهتماماتي في كلا الموضوعين إلى الجامعة ، حيث كانت غالبية وحداتي عبارة عن فصول إحصائية ، مع طرح وحدة الفنون الفردية فيها. كثير من الناس يعتقدون أن تخصصين (الرياضيات واللغة الإنجليزية) يتعارضان مع بعضهما البعض ، لكنني أختلف.

ترتبط العمليات المنطقية التي تتضمن عبارات لغوية وبيانات رقمية ارتباطًا أوثق مما تعتقد. من نواح كثيرة ، الإحصاء هو المكان الذي يلتقي فيه "العالم الخيالي للغة الإنجليزية" و "العالم الواقعي للرياضيات".

تعمل الإحصائيات بطريقة رياضية للغاية (مع تدوينها واشتقاقها الشديد) ، ولكن يوجد قدر كبير من الإبداع والخيال.

تتضمن مشكلة الخراب في المقامر بعضًا من الجبر الإبداعي والفهم الاحتمالي للعالم. المعادلات الرياضية الطويلة المستخدمة أعلاه هي ببساطة وسيلة لتقديم هذه الأفكار.

الشيء المثير للاهتمام حول النتائج في الإحصاءات هو أنها في كثير من الأحيان يمكن أن تتعارض مع "غريزة القناة الهضمية". يمكن أن تصدمنا وتشجعنا على الخوض في ما يعنيه. إنه يشبه تطور الحبكة المفاجئة في رواية مكتوبة جيدًا!

ما زلت أجد نفسي متفاجئًا بالنتيجة في مشكلة الخراب في المقامر ، لكن في ضوء اشتقاقها وفكرها الإضافي ، أشعر بالارتياح إزاء صحتها وشعورها كما لو أنني اكتسبت فهمًا أعمق لكيفية عمل العالم.

ما أهمية مجال الاحتمالات والإحصاء؟

نحن نعيش في أوقات تعتمد على البيانات ، وبدأ الناس حقًا في تقدير أهمية الاحتمالات والإحصائيات.

أدت الاحتمالات والإحصائيات إلى العديد من الاكتشافات والابتكارات ، مما مكّن صانعي السياسات ورجال الأعمال والمربين من اتخاذ القرارات المستندة إلى البيانات. كما أنه يلعب دورًا مهمًا في المجالات التأديبية التي لا تعتبر على الفور موجهة نحو الرياضيات ، مثل علم النفس والبيولوجيا والأنثروبولوجيا وعلم الأوبئة.

غالبًا ما نأتي في حياتنا اليومية بالإحصائيات دون أن ندرك ذلك. على سبيل المثال ، لنفترض أنك انقلبت عملة عادلة مائة مرة ، وفي كل مرة ، سقطت على رؤوس. الرد الفوري للبعض هو بالتأكيد أنه لن يهبط على الأرض في الرمية التالية. وحتى الآن ، يفعل. هذا لأن العملة لا تملك أي ذاكرة كانت قد هبطت من قبل على رؤوس مائة مرة ، ولا تزال فرصتك كما هي ، حوالي 50/50.

هل يمكن أن تخبرنا عن تاريخ نظرية الاحتمالات والإحصاء؟

في حين أن الإحصاءات لم يتم تطويرها رسميًا حتى القرن السابع عشر ، فقد استخدمها كثيرون دون علم قبل ذلك بفترة طويلة.

كان الكندي فيلسوفًا وعالمًا في الرياضيات كتب كتابًا بعنوان "مخطوطة لفك تشفير رسائل التشفير في القرن التاسع". وأوضح أنه يمكن فك تشفير الرسالة المشفرة المكتوبة بلغة معينة من خلال الإشارة إلى توزيع تردد الحروف التي تظهر بهذه اللغة.

هناك عدد قليل من الأدوات لإنشاء الرسائل المشفرة الخاصة بك ، باستخدام نفس الفكرة على النحو الوارد أعلاه.

تاريخ نظرية الاحتمالات ينبع من الألعاب التي تنطوي على فرصة. مثال بارز يسمى مشكلة النقاط. يمكن اعتماد حلول المشكلة لكل من Blaise Pascal و Pierre de Fermat خلال القرن السابع عشر.

تسأل المشكلة ، كيف يمكن تقسيم حصص اللعبة إلى حد ما بين لاعبين إذا تم إيقاف اللعبة في جولة معينة؟ اقترح العديد من علماء الرياضيات حلولًا ، ومع ذلك ، فإن أفضل طريقة لتقسيم ثروة اللاعب 1 واللاعب 2 هي في نسبة:

حيث r و s هما عدد جولات الجولة الناجحة 1 واللاعب 2 بحاجة للفوز.

يلتقط الجانب الأيسر من النسبة جميع الطرق التي قد يفوز بها اللاعب 2 فقط 0 جولات + 1 جولة + 2 جولات وهكذا حتى s - 1 جولات. في أي من هذه الحالات ، سيفوز اللاعب 1. الجانب الأيمن ، بالتماثل ، له نتيجة مماثلة للاعب 2.

استخدام التوافقية المنفصلة ومفهوم الصدفة يحفز مجال نظرية الاحتمالات.

أي شيء آخر مثير للاهتمام لإضافة؟

ما أحبه في الإحصاء والاحتمالات هو أنه مجال للدراسة يمكن الوصول إليه. هذا لأنه يعتمد إلى حد كبير على الحدس والتفكير المفاهيمي ، على عكس المعادلات الطويلة والمعرفة المسبقة.

لقد سحبت بعضًا من "أفضل القراءات" أدناه لأي شخص مهتم بمعرفة المزيد عن هذا المجال.

مبرهنة بايز

قل أنك مصاب بمرض إيجابي. ما هي فرص حصولك عليها بالفعل؟ بايز لديه إجابة والنتائج قد لا تكون مدعاة للقلق كما تظن!

المخاطرة والخسارة

كيف يمكننا تقييم نهجك في المخاطرة؟ هيا بنا نراهن سأعطيك 12 دولارًا إذا هبطت هذه العملة على الرؤوس. إذا هبطت على ذيول ، فأنت تعطيني 10 دولارات. لا تريد أن تأخذ الرهان؟ ماذا لو لعبنا 100 مرة؟ هل سيغير هذا إجابتك؟

سيناريو ديفيد الدوس عن حديثه في جامعة كورنيل ، 2004.

يفتح ديفيد الدوس بعض النقاط المثيرة للاهتمام حول نظرية الاحتمالات التي تناقش نفسية الأفراد والمفاهيم الخاطئة عن الصدفة.

هل تريد قراءة المزيد من سلسلة Coffee + Math؟ تحقق من هذه المقابلة التي تدور حول الرياضيات من السوائل ومعادلة Navier-Stokes.